\documentclass{scrartcl}
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\usepackage{times}
\usepackage{amsmath,amsfonts}
\begin{document}

\section{Lernliste}


\subsection{Relationen}

\begin{itemize}
  \item reflexiv, symmetrisch, asymmetrisch, antisymmetrisch, transitiv,
    linaer konnex
  \item Äquivalenzrelation, Kongruenzrelation
  \item Klasseneinteilung
  \item Hauptsatz über Äquivalenzrelationen\\
    Jede Äquivalenzrelation induziert in kanonischer Weise eine
    Klasseneinteilung und umgekehrt.
\end{itemize}

\subsection{Gruppen}
\begin{itemize}
  \item Halbgruppe (zu jedem Element der HG gibt es ein linksneutrales
    und linksinverses Element, beide sind eindeutig bestimmt, Links- und
    Rechtstranslation sind surjektiv bzw. bijektiv)
  \item Gruppe, Untergruppe, Beispiele
  \item Transformationsgruppen, Wirkung, Invariante, Fixpunkt, Orbit,
    treu, (scharf) transitiv, Isotropiegruppe
  \item innerer Automorphismus, Normalteiler
  \item Homomorphiesatz für Gruppen\\
    Die Faktorgruppe einer Grupe nach dem Kern eines Homomorphismus ist
    isomorph zum vollen Bild der der Gruppe bei diesem Homomorphismus.
  \item Kardinalzahl
  \item Satz von Langrange\\
    Die Ordnung einer Gruppe ist gleich dem Produkt der Ordnung einer
    Untergruppe und dem Index dieser Untergruppe.
  \item Kleiner Fermatscher Satz
  \item einfache Gruppen
  \item Kommutator, Kommutatorgrupe, Normalreihe, auflösbare Gruppe
  \item Homomorphismus, Isomorphismus, Automorphismus, Epimorphismus
  \item Allgemeiner Homomorphiesatz\\
    Ist $R$ eine Kongruenzrelation auf der allgemeinen Algebra
    $\mathfrak{A}=(M,\mathfrak{V},\mathfrak{R})$, so ist die kanonische
    Abbildung $\kappa: M\rightarrow M/_R$ mit
    $\kappa(a)=\overline{a}:=\{x\in M :(a,x)\in R\}$ ein Homomorphismus
    von $\mathfrak{A}$ auf die Faktoralgebra $\mathfrak{A}/_R$.\\
    Ist umgekehrt $\varphi$ ein Homomorphismus von $\mathfrak{A}$ auf
    eine Algebra $\mathfrak{A}'$ vom gleichen Typ, so wird $R$ mit
    $(x,y)\in R:\Leftrightarrow \varphi(x)=\varphi(y)$ eine
    Kongruenzrelation auf $\mathfrak{A}$ und die Faktorstruktur
    $\mathfrak{A}/_R$ ist isomorph zu $\mathfrak{A}'$.
  \item volles Bild (Image), Urbild (Kern)
  \item Satz von Cayley\\
    Jede Gruppe ist isomorph zu einer Transformationsgruppe.
  \item Faktorgruppen
  \item Homomorphiesatz für Gruppen\\
    Ist $\varphi$ ein Homomorphismus einer Gruppe $G$ in eine Gruppe $H$, so ist die Faktorgruppe $G/_{\ker \varphi}$ isomorph zur Gruppe $\Im \varphi$.
\end{itemize}


\subsection{Ringe und Körper}


\subsubsection{Ringe}
\begin{itemize}
  \item Ringe, kommutativ, Ring mit Einselement, Unterring, Beispiele
  \item Nullteiler, Integritätsbereich
  \item Jeder nichttriviale endliche nullteilerfreie Ring ist ein
    Körper.
  \item Quotientenkörper
  \item Polynomring, Nullstelle, normiert
  \item Satz über Division mit Rest\\
    Ist $R$ ein Integritätsbereich, so existieren zu jedem $\alpha\in
    R[x]$ und jedem normierten $\beta\in R[x]$ eindeutig bestimmte
    Polynome $\gamma,\rho\in R[x]$ mit $\alpha=\gamma\cdot\beta+\rho$
    und es gilt, dass der Grad von $\rho$ kleiner als der Grad von
    $\beta$ ist.
  \item Teiler, Primelement, irreduzibel
  \item Ideal, Hauptideal, Hauptidealring
\end{itemize}

\subsubsection{Körper}
\begin{itemize}
  \item Schiefkörper, Körper, Beispiele
  \item Modul
  \item Körper der rationalen Funktionen, Charakteristik
  \item Körpererweiterung, Zwischenkörper, Primkörper
  \item Grad der Körpererweiterung, Gradformel
  \item algebraische und transzendente Zahlen
  \item Jede endliche Körpererweiterung ist algebraisch.
  \item Minimalpolynom
  \item Satz von Kronecker\\
    Zu jedem Polynom $f\in L[x]$ mindestens ersten Grades öber einem
    Körper $L$ existiert stets ein Erweiterungskörper und ein $a\in K$
    mit $f(a)=0$.
\end{itemize}

\subsection{Gruppentheoretischer Aufbau der Geometrie}
\begin{itemize}
  \item Affine Inzidenzebenen
  \item invariantes involutorisches Erzeugendensystem, Axiome
  \item Anstieg, Anstiegsgerade, Abschnitt
  \item Ternärkörper, affine Koordinatenebene
  \item Loop, Doppelloop
  \item Affiner Satz von Desargues und Pappos
  \item Satz von Wedderburn\\
    Jeder endliche Schiefkörper ist ein Körper. (ohne Beweis)
\end{itemize}

\subsection{Konstruktion mit Zirkel und Lineal}

\begin{itemize}
  \item Grundobjekte, Menge aller konstruierbaren Objekte
  \item Satz von Gauss\\
    Für natürliche Zahlen mit $n\geq 3$ sind folgende Aussagen
    äquivalent:
    \begin{enumerate}
      \item Das reguläre $n$-Eck ist mit Zirkel und Lineal
	konstruierbar.
      \item Für die Eulersche $\varphi$-Funktion gilt $\varphi(n)$ ist
	eine Potenz von 2.
      \item $n=2^m\cdot p_1\cdot\dots\cdot p_r$ mit $m,r \in\mathbb{N}$
	und $p_i=2^{2^{s_i}}+1$ ist eine Fermatsche Primzahl.
    \end{enumerate}
  \item Quadratur des Kreises\\
    Zu jedem gegebenen Kreis kann mit Zirkel und Lineal kein
    inhaltsgleiches Quadrat konstruiert werden.
  \item punktmengengeometrische Fassung von Tarski
  \item Zerlegungsstruktur, Kleinscher Raum
  \item Hauptsatz über Zerlegungsstrukturen, Formales Hauptkriterium
  \item Verdoppelung des Würfels
  \item Dreiteilung des Winkels
\end{itemize}

\subsection{Lineare Räume}

\begin{itemize}
  \item linearer Raum (Vektorraum), Beispiele, Unterräume

  \item Linearkombination
  \item lineare Hülle
  \item Satz von den Eigenschaften der linearen Hülle\\
    Für beliebige Teilmengen $A, B$ eines Vektorraumes $V$ gilt:
    \begin{enumerate}
      \item $lin(A)=\bigcup_{A\subset U} U$ ($U$ linearer Unterraum von $V$)
      \item Ist $A$ ein linearer Unterraum von $V$, so ist die lineare Hülle von $A$ gleich $A$
      \item Die lineare Hülle ist ein Hüllenoperator auf $V$, es gilt:
	\begin{itemize}
	  \item $lin: 2^V\rightarrow 2^V$
	  \item $A\subseteq lin(A)$
	  \item $A\subseteq B \Rightarrow lin(A)\subseteq lin(B)$
	  \item $lin(lin(A))=lin(A)$
	\end{itemize}
    \end{enumerate}

  \item lineare Unabhängigkeit
  \item Basis
  \item Basissatz für Vektorräume\\
    Jeder Vektorraum besitzt eine Basis und alle Basen desselben
    Vektorraumes sind gleich\-mächtig. (ohne Beweis)
  \item Austauschsatz von Steinitz\\
    Wenn $B$ eine Basis des Vektorraumes $V$ und $C={c_1,\dots,c_r}$
    eine linear unabhängige Menge von Vektoren aus $V$ ist, dann
    existieren Basiselemente $b_1,\dots,b_r\in B$, so dass
    $B':=C\cup(B\backslash\{b_1,\dots,b_r\})$ wieder eine Basis von $V$
    ist. (Basiselemente können durch andere linear unabhängige ersetzt
    werden.
  \item Dimension
\end{itemize}

\subsection{Lineare Abbildungen, Gleichungssysteme, etc.}
\begin{itemize}
  \item lineare Abbildung, Beispiele
  \item Hauptsatz über endlichdimensionale lineare Räume\\
    Jeder lineare Raum $(V,+,\mathbb{K})$ dessen Dimension eine
    natürliche Zahl ist ($\dim V = n\in \mathbb{N}$), ist isomorph zum
    Raum $\mathbb{K}^n$.
  \item Rang
  \item Dimensionssatz für lineare Abbildungen\\
    Für alle linearen Abbildungen $\varphi\in \mathcal{L}(V,W)$ eines
    endlichdimensionalen linearen Raumes $V$ in einen linearen Raum $W$
    gilt $\dim \ker \varphi+\text{rg} \varphi=\dim V$.
  \item Matrix, Algebra, Endomorphismenring
  \item invertierbare Matrix
  \item Determinante
  \item Charakterisierung der Determinanten nach Weierstraß
  \item Laplacescher Entwicklungssatz
  \item lineares Gleichungssystem
  \item Hauptsatz über lineare Gleichungssysteme\\
    Ein lineares Gleichungssystem ist genau dann lösbar, wenn der Rang
    der Koeffizientenmatrix gleich dem Rang der Systemmatrix ist.\\
    Ist das lineares Gleichungssystem $Ax=b$ lösbar, so ist die
    Lösungsmenge $(n-r)$-parametrig, wenn $n$ die Anzahl der Unbekannten
    und $r$ der Rang der Koeffizientenmatrix ist.
  \item Cramersche Regel
  \item Gaußscher Algorithmus
\end{itemize}


\subsection{Affine Geometrie}

\begin{itemize}
  \item affiner Raum (vier Eigenschaften), affines Koordinatensystem,
    affiner Unterraum, affine Hülle
  \item Translation, translationsgleich, Translationsgleichheit ist
    Äquivalenzrelation
  \item affine Abbildung (zwei Eigenschaften), affine Transformation
  \item affine Kombination, konvexe Kombination, konvexe Hülle
  \item Dimension, affin unabhängig
\end{itemize}

\subsection{Euklidische Geometrie}

\begin{itemize}
  \item Bilinearform, hermitesche Form, positiv definit, hermitesche und
    symmetrische Matrix, euklidischer linearen Raum
  \item Skalarprodukt
  \item Cauchy-Schwartzsche-Ungleichung\\
    Ist $(V,f)$ ein euklidischer bzw. unitärer linearer Raum, so gilt
    $\forall x,y\in V$ $|f(x,y)|^2\leq f(x,x)\cdot f(y,y)$. (Gleichheit
    gilt, wenn $x,y$ linear unabhängig sind.)
  \item normierter Raum, metrischer Raum, Abstand, Orthogonalität
  \item Schmidtsches Orthogonalisierungsverfahren
  \item orthogonale Gruppe
  \item Eigenwert, Eigenvektor, charakteristische Gleichung,
    charakteristisches Polynom
  \item Hauptachsentransformation
\end{itemize}


\end{document}
