1 Lernliste

1.1 Relationen

• reflexiv, symmetrisch, asymmetrisch, antisymmetrisch, transitiv, linaer konnex

• Äquivalenzrelation, Kongruenzrelation

• Klasseneinteilung

• Hauptsatz über Äquivalenzrelationen Jede Äquivalenzrelation induziert in kanonischer Weise eine Klasseneinteilung und umgekehrt.

1.2 Gruppen

• Halbgruppe (zu jedem Element der HG gibt es ein linksneutrales und linksinverses Element, beide sind eindeutig bestimmt, Links- und Rechtstranslation sind surjektiv bzw. bijektiv)

• Gruppe, Untergruppe, Beispiele

• Transformationsgruppen, Wirkung, Invariante, Fixpunkt, Orbit, treu, (scharf) transitiv, Isotropiegruppe

• innerer Automorphismus, Normalteiler

• Homomorphiesatz für Gruppen Die Faktorgruppe einer Grupe nach dem Kern eines Homomorphismus ist isomorph zum vollen Bild der der Gruppe bei diesem Homomorphismus.

• Kardinalzahl

• Satz von Langrange Die Ordnung einer Gruppe ist gleich dem Produkt der Ordnung einer Untergruppe und dem Index dieser Untergruppe.

• Kleiner Fermatscher Satz

• einfache Gruppen

• Kommutator, Kommutatorgrupe, Normalreihe, auflösbare Gruppe

• Homomorphismus, Isomorphismus, Automorphismus, Epimorphismus

• Allgemeiner Homomorphiesatz Ist R eine Kongruenzrelation auf der allgemeinen Algebra 𝔄 = (M, 𝔙, ℜ), so ist die kanonische Abbildung κ : M → M/_{R} mit κ(a) = \overline{a} := \{x ∈ M : (a, x) ∈ R\} ein Homomorphismus von 𝔄 auf die Faktoralgebra 𝔄/_{R}.

Ist umgekehrt φ ein Homomorphismus von 𝔄 auf eine Algebra 𝔄′ vom gleichen Typ, so wird R mit (x, y) ∈ R :⇔ φ(x) = φ(y) eine Kongruenzrelation auf 𝔄 und die Faktorstruktur 𝔄/_{R} ist isomorph zu 𝔄′.

• volles Bild (Image), Urbild (Kern)

• Satz von Cayley Jede Gruppe ist isomorph zu einer Transformationsgruppe.

• Faktorgruppen

• Homomorphiesatz für Gruppen Ist φ ein Homomorphismus einer Gruppe G in eine Gruppe H, so ist die Faktorgruppe G/_{ker φ} isomorph zur Gruppe ℑφ.

1.3 Ringe und Körper

1.3.1 Ringe • Ringe, kommutativ, Ring mit Einselement, Unterring, Beispiele

• Nullteiler, Integritätsbereich

• Jeder nichttriviale endliche nullteilerfreie Ring ist ein Körper.

• Quotientenkörper

• Polynomring, Nullstelle, normiert

• Satz über Division mit Rest Ist R ein Integritätsbereich, so existieren zu jedem α ∈ R[x] und jedem normierten β ∈ R[x] eindeutig bestimmte Polynome γ, ρ ∈ R[x] mit α = γ · β + ρ und es gilt, dass der Grad von ρ kleiner als der Grad von β ist.

• Teiler, Primelement, irreduzibel

• Ideal, Hauptideal, Hauptidealring

1.3.2 Körper • Schiefkörper, Körper, Beispiele

• Modul

• Körper der rationalen Funktionen, Charakteristik

• Körpererweiterung, Zwischenkörper, Primkörper

• Grad der Körpererweiterung, Gradformel

• algebraische und transzendente Zahlen • Jede endliche Körpererweiterung ist algebraisch.

• Minimalpolynom

• Satz von Kronecker Zu jedem Polynom f ∈ L[x] mindestens ersten Grades öber einem Körper L existiert stets ein Erweiterungskörper und ein a ∈ K mit f(a) = 0.

1.4 Gruppentheoretischer Aufbau der Geometrie

• Affine Inzidenzebenen

• invariantes involutorisches Erzeugendensystem, Axiome

• Anstieg, Anstiegsgerade, Abschnitt

• Ternärkörper, affine Koordinatenebene

• Loop, Doppelloop

• Affiner Satz von Desargues und Pappos

• Satz von Wedderburn Jeder endliche Schiefkörper ist ein Körper. (ohne Beweis)

1.5 Konstruktion mit Zirkel und Lineal

• Grundobjekte, Menge aller konstruierbaren Objekte

• Satz von Gauss

Für natürliche Zahlen mit n ≥ 3 sind folgende Aussagen äquivalent:

1. Das reguläre n-Eck ist mit Zirkel und Lineal konstruierbar.

2. Für die Eulersche φ-Funktion gilt φ(n) ist eine Potenz von 2.

3. n = 2^{m} · p_{1} · · · · · p_{r} mit m, r ∈ ℕ und p_{i} = 2^{2^{s_{i}}} + 1 ist eine Fermatsche Primzahl.

• Quadratur des Kreises Zu jedem gegebenen Kreis kann mit Zirkel und Lineal kein inhaltsgleiches Quadrat konstruiert werden.

• punktmengengeometrische Fassung von Tarski

• Zerlegungsstruktur, Kleinscher Raum

• Hauptsatz über Zerlegungsstrukturen, Formales Hauptkriterium

• Verdoppelung des Würfels

• Dreiteilung des Winkels

1.6 Lineare Räume

• linearer Raum (Vektorraum), Beispiele, Unterräume

• Linearkombination

• lineare Hülle

• Satz von den Eigenschaften der linearen Hülle

Für beliebige Teilmengen A, B eines Vektorraumes V gilt:

1. lin(A) = ⋃_{A⊂U} U (U linearer Unterraum von V)

2. Ist A ein linearer Unterraum von V, so ist die lineare Hülle von A gleich A

3. Die lineare Hülle ist ein Hüllenoperator auf V, es gilt:

– lin : 2^{V} → 2^{V}

– A ⊆ lin(A)

– A ⊆ B ⇒ lin(A) ⊆ lin(B)

– lin(lin(A)) = lin(A)

• lineare Unabhängigkeit

• Basis

• Basissatz für Vektorräume Jeder Vektorraum besitzt eine Basis und alle Basen desselben Vektorraumes sind gleichmächtig. (ohne Beweis)

• Austauschsatz von Steinitz Wenn B eine Basis des Vektorraumes V und C = c_{1}, …, c_{r} eine linear unabhängige Menge von Vektoren aus V ist, dann existieren Basiselemente b_{1}, …, b_{r} ∈ B, so dass B′ := C ∪ (B\{b_{1}, …, b_{r}}) wieder eine Basis von V ist. (Basiselemente können durch andere linear unabhängige ersetzt werden.

• Dimension

1.7 Lineare Abbildungen, Gleichungssysteme, etc.

• lineare Abbildung, Beispiele

• Hauptsatz über endlichdimensionale lineare Räume Jeder lineare Raum (V, +, 𝕂) dessen Dimension eine natürliche Zahl ist (dim V = n ∈ ℕ), ist isomorph zum Raum 𝕂^{n}.

• Rang

• Dimensionssatz für lineare Abbildungen Für alle linearen Abbildungen φ ∈ L(V, W) eines endlichdimensionalen linearen Raumes V in einen linearen Raum W gilt dim ker φ + rgφ = dim V.

• Matrix, Algebra, Endomorphismenring

• invertierbare Matrix

• Determinante

• Charakterisierung der Determinanten nach Weierstraß

• Laplacescher Entwicklungssatz

• lineares Gleichungssystem

• Hauptsatz über lineare Gleichungssysteme Ein lineares Gleichungssystem ist genau dann lösbar, wenn der Rang der Koeffizientenmatrix gleich dem Rang der Systemmatrix ist. Ist das lineares Gleichungssystem Ax = b lösbar, so ist die Lösungsmenge (n − r)- parametrig, wenn n die Anzahl der Unbekannten und r der Rang der Koeffizientenmatrix ist.

• Cramersche Regel

• Gaußscher Algorithmus

1.8 Affine Geometrie

• affiner Raum (vier Eigenschaften), affines Koordinatensystem, affiner Unterraum, affine Hülle

• Translation, translationsgleich, Translationsgleichheit ist Äquivalenzrelation

• affine Abbildung (zwei Eigenschaften), affine Transformation

• affine Kombination, konvexe Kombination, konvexe Hülle

• Dimension, affin unabhängig

1.9 Euklidische Geometrie

• Bilinearform, hermitesche Form, positiv definit, hermitesche und symmetrische Matrix, euklidischer linearen Raum

• Skalarprodukt

• Cauchy-Schwartzsche-Ungleichung Ist (V, f) ein euklidischer bzw. unitärer linearer Raum, so gilt ∀x, y ∈ V |f(x, y)|^{2} ≤ f(x, x) · f(y, y). (Gleichheit gilt, wenn x, y linear unabhängig sind.)

• normierter Raum, metrischer Raum, Abstand, Orthogonalität

• Schmidtsches Orthogonalisierungsverfahren • orthogonale Gruppe

• Eigenwert, Eigenvektor, charakteristische Gleichung, charakteristisches Polynom • Hauptachsentransformation